Уравнения Колмогорова А.Н.

Почаще встречаются ситуации, когда переходы системы из состояния в состояние происходят не в фиксированные, а в случайные моменты времени, которые заблаговременно указать нереально.

Отметим особенность:

возможность перехода системы из состояния в состояние точно в момент времени t равна 0. (также как возможность хоть какого отдельного значения непрерывной случайной величины)

Вводят в Уравнения Колмогорова А.Н. рассмотрение плотности вероятности перехода

ОПР. Плотностью вероятности перехода именуется предел дела вероятности перехода системы за время Δt из состояния в состояние к длине промежутка Δt.

Из определения следует, что при малом Δt возможность перехода с точностью до нескончаемо малых высших порядков равна:

Если не находится в зависимости от t, марковский процесс Уравнения Колмогорова А.Н. именуется однородным; если зависит – то неоднородным.

Если процесс, протекающий в системе с непрерывным временем, является марковским, то для вероятностей состояний можно составить систему дифференциальных уравнений. Покажем, как это делается.

Пусть известны для всех пер. состояний. Построим размеченный граф:


Поставим задачку: отыскать - возможность того, что в момент Уравнения Колмогорова А.Н. t система будет находиться в состоянии .

Придадим t маленькое приращение и найдем возможность того, что в момент ( t+ система будет находиться в состоянии

Это событие может произойти 2-мя методами:

1) в момент t система находится в состоянии и за время не вышла из этого состояния;

2) в момент t система находится в Уравнения Колмогорова А.Н. состоянии и за время перебежала из него в .

Возможность первого действия равна произведению вероятности того, что в момент t система находится в состоянии , на условную возможность того, что, будучи в состоянии система за время не перейдет из него в :

*(1-

Аналогично, возможность второго варианта равна:

* , где – условная возможность перехода (с Уравнения Колмогорова А.Н. точностью до нескончаемо малых высших порядков) за время в состояние .

Применяя правила сложения вероятностей, получаем:

*(1- + * либо

- + *

Разделив обе части на

При получаем:

либо

- линейное ДУ первого порядка

Получили ДУ, которому должна удовлетворять функция .

Аналогично, получаем ДУ для

Разглядим 2-ое состояние и найдем – возможность того, что в момент времени система будет находиться в состоянии

Это событие может Уравнения Колмогорова А.Н. произойти последующими методами:

1) в момент t система находится в состоянии и за время не перейдет из него ни в ;

2) в момент t система находится в состоянии и за время перейдет из него в .

3) в момент t система находится в состоянии и за время перейдет из него в Уравнения Колмогорова А.Н. .

Потому что действия, состоящие в переходе за из в и из в несовместны, то возможность того, что осуществляется один из этих переходов, равна сумме их вероятностей, т.е.

+

а возможность того, что не осуществляется ни один из этих переходов, равна:

1-

Как следует, возможность первого варианта равна:

Возможность второго варианта, разумеется Уравнения Колмогорова А.Н., равна:

Возможность третьего варианта равна:

По аксиоме сложения вероятностей получаем

Откуда получаем:

Переходя к лимиту при , получим

и получаем ДУ для функции

Разглядим состояние и найдем – возможность того, что в момент система находится в состоянии X3 .

Это событие может произойти последующими методами:

1) в момент t система находится в состоянии и Уравнения Колмогорова А.Н. за время не уйдет ни в ни в .

Возможность этого действия равна:

2) в момент t система находится в состоянии и за время перейдет из него в Возможность этого действия равна

Тогда:

Откуда

Получаем ДУ для функции

Разглядим состояние и найдем

Это событие может произойти последующими методами:

1) в момент t система находится в Уравнения Колмогорова А.Н. состоянии и за время не уходит в .

Возможность этого действия равна:

2) в момент t система находится в состоянии и за время перейдет из него в Возможность этого действия равна

3) в момент t система находится в состоянии и за время перейдет из него в Возможность этого действия равна

Тогда:

Откуда

Получаем ДУ для функции

Таким Уравнения Колмогорова А.Н. макаром, получили систему дифференциальных уравнений, которые именуются уравнениями Колмогорова

– Уравнения Колмогорова

Решая систему с данными исходными критериями, зависящими от исходного состояния системы X, находим разыскиваемые вероятности состояний как функций времени

Замечание: систему можно упростить, беря во внимание, что для всех t.

Структура уравнений указывает, что они все построены по Уравнения Колмогорова А.Н. последующему правилу:

в левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а в правой части – столько слагаемых, сколько стрелок связано с данным состоянием.

Если стрелка ориентирована из состояния, слагаемое имеет символ «минус», если в состояние – символ «плюс».

Каждое слагаемое равно произведению плотности вероятности перехода, соответственной данной стрелке, умноженной на возможность того состояние Уравнения Колмогорова А.Н., из которого исходит стрелка.

Правило применимо для хоть какой непрерывной марковской цепи.

Пример:

Размеченный граф состояний системы X имеет вид, показанный на рисунке. Написать ДУ Колмогорова и исходные условия, для решения этой системы, если понятно, что в исходный момент времени система находится в состоянии


Исходные условия:

Поток событий. Простой Уравнения Колмогорова А.Н. поток и его характеристики.

Если в системе X с дискретными состояниями происходит случайный процесс с непрерывным временем, то переходы системы из состояния в состояние можно (и комфортно) рассматривать как происходящие под воздействием неких потоков событий.

ОПР. Потоком событий именуется последовательность событий, поступающих одно за другим в случайные Уравнения Колмогорова А.Н. моменты времени.

К примеру:

- поток воздушных целей при организации ПВО;

- поток выстрелов, направляемых на цель;

- поток вызовов на АТС;

- поток пассажиров, входящих в метро;

- поток дефектов ЭВМ.

Поток событий именуется постоянным, если событие следует одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такие потоки не свойственны, почаще встречаются случайные потоки Уравнения Колмогорова А.Н. событий, для которых и моменты пришествия событий, и промежутки времени меж ними случайны. Отдельные действия потоков комфортно изображать точками числовой оси:

t
τ


Потоки событий могут владеть разными качествами.

ОПР. Поток событий именуется стационарным, если возможность пришествия к-событий на участке времени длиной τ, зависит только от длины участка и не Уравнения Колмогорова А.Н. находится в зависимости от того, где конкретно на оси Ot размещен этот участок, т.е.

Свойство стационарности значит, что вероятностный режим работы не изменяется во времени и плотность (интенсивность) потока событий – среднее число событий в единицу времени - должна оставаться неизменной.

Лекция 3. ОПР. Поток событий именуется потоком без последействия, если возможность Уравнения Колмогорова А.Н. возникновения ровно k событий в интервале не находится в зависимости от того, сколько событий и каким образом поступило на интервале (0, t)

Отсутствие последействия значит независимость возникновения того либо другого числа событий на всех неперекрывающихся участках времени.

ОПР. Поток событий именуется простым, если возможность поступления на малый участок времени 2х либо более Уравнения Колмогорова А.Н. событий пренебрежимо мала по сопоставлению с вероятностью поступления 1-го действия. Другими словами, возможность поступления 2х либо более событий за время :

является величиной более высочайшего порядка малости, чем , т.е.

Ординарность значит практическую невозможность одновременного поступления 2х либо более событий.

Поток событий, владеющий качествами стационарности, ординарности и Уравнения Колмогорова А.Н. отсутствия последействия, именуется простым либо пуассоновским потоком!!!

Заглавие связано с тем, что в простом потоке число событий, поступающих в течение данного интервала (0,t) распределено по закону Пуассона. И возможность того, что число событий, поступающих в просвет времени (0,t) равно k, определяется по формуле:

Где λ – плотность потока – среднее число событий, поступающих в Уравнения Колмогорова А.Н. единицу времени.

Заметим, что в силу стационарности простого потока, возможность за время не находится в зависимости от расположения участка на оси Ot и рассчитывается по формуле


urok-2013-fgbou-vpo-shadrinskij-gosudarstvennij-pedagogicheskij-institut.html
urok-21e-moshkovskaya-a-travka-ne-znaet-nogi-i-urokiyazik-i-ushi-esli-grachi-zakrichali.html
urok-23-ispolzovanie-funkcij-uchebno-metodicheskoe-posobie-dlya-uchitelej-obsheobrazovatelnih-uchrezhdenij.html